Единственное решение симметричной системы

Пусть система уравнений относительно $x$ и $y$ симметрична относительно оси $Ox$, то есть

$$(x_0,y_0)\text{ — решение}⟹(x_0,-y_0)\text{ — решение}.$$

Тогда, если система имеет ровно одно решение, оно обязательно имеет вид

$$(x_0,0).$$

Иначе говоря, единственное решение должно лежать на оси симметрии.

Идея доказательства

Предположи, что у единственного решения $y_0\ne 0$, и сравни точки $(x_0,y_0)$ и $(x_0,-y_0)$.