1 Подсказки

Подсказки к задачам в электричку

Условия · Решения

Открывай следующий уровень только после отдельной попытки довести предыдущую идею до конца.

1. Три шарика и коробки

Подсказка 1

Не обязательно считать, сколькими способами игрок выбирает коробки. Зафиксируй выбранный им набор и считай случайным только расположение трёх шариков.

Подсказка 2

Если всего коробок $N$, то существует $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{3}\right)$ равновероятных троек коробок с шариками. Сколько из них целиком лежит внутри фиксированного набора из $k$ коробок?

Подсказка 3

Для $k$ открываемых коробок вероятность равна $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{3}\right)/\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{3}\right)$. В требуемом отношении знаменатель сократится.

2. Неизменившееся выражение

Подсказка 1

Сначала собери три слагаемых в выражении $K$ в одну дробь.

Подсказка 2

Сравни $K(x,y)$ и $K(x-1,y+1)$. Их числители после упрощения совпадают.

Подсказка 3

Получится $xy=(x-1)(y+1)$. Выведи отсюда простую связь между $x$ и $y$, а затем сразу подставь её в $M$.

3. Квадрат из трёх чисел

Подсказка 1

Пусть повторяющаяся цифра числа $A$ равна $d$. Тогда
$A=1111d=11\cdot 101\cdot d.$

Подсказка 2

В полном квадрате показатели всех простых множителей чётны. Проследи сначала за простым числом $101$, а затем — за $11$. Учти размеры $B$ и $C$.

Подсказка 3

Условия на цифры оставляют единственные варианты $B=202$ и $C=33$. После этого остаётся определить цифру $d$ из требования, чтобы $6d$ было квадратом.

4. Тригонометрия и подсчёт целых пар

Подсказка 1

Раскрой скобки и перенеси всё в одну сторону. Используй
${\sin }^{2}t-{\cos }^{2}t=-\cos 2t$
и формулу для $\cos (a+b)$.

Подсказка 2

Уравнение сводится к сумме двух косинусов, а затем — к произведению:

$$2\cos \frac{\pi (x-y)}{2}\cos \frac{\pi (3x+y)}{2}=0.$$

Каждый множитель даёт семейство прямых.

Подсказка 3

Для целых $x,y$ тригонометрическое уравнение равносильно тому, что $x+y$ нечётно. Области определения дают $-5\le x\le 5$ и $-4\le y\le 4$, а строгое неравенство исключает ровно одну угловую точку.

5. Степень двойки и разность квадратов

Подсказка 1

Отрицательные $x$ сразу невозможны. По симметрии достаточно сначала считать $y>0$; при этом $y>45$.

Подсказка 2

Используй $2025=45^2$:

$$(y-45)(y+45)=19\cdot 2^x.$$

Два множителя отличаются на $90$.

Подсказка 3

При $x>0$ оба множителя чётны, но ровно один делится на $2$ и не делится на $4$. В правой части единственный нечётный простой множитель — $19$, поэтому такой множитель равен либо $2$, либо $38$. Большим множителем он быть не может.