Неравенство Бернулли

По индукции:

1. Для n = 1: работает ✅
2. Предположим, что работает для $n=k$:

$$\prod _{i=1}^k(1+x_i)\ge 1+\sum _{i=1}^k{x}_i|\cdot (1+x_{k+1})$$ $$\prod _{i=1}^{k+1}(1+x_i)\ge (1+\sum _{i=1}^k{x}_i)(1+x_{k+1})$$ $$\prod _{i=1}^{k+1}(1+x_i)\ge 1+\sum _{i=1}^k{x}_i+x_{k+1}+x_{k+1}\cdot \sum _{i=1}^k{x}_i$$ $$\prod _{i=1}^{k+1}(1+x_i)\ge \sum _{i=1}^{k+1}{x}_i+1+x_{k+1}\cdot \sum _{i=1}^k{x}_i$$

• Если $x_i\ge 0$, то очевидно $x_{k+1}\cdot {\sum }_{i=1}^k{x}_i\ge 0$
• Если $x_i<0$, то произведение всё ещё будет неотрицательно
  Если убрать неотрицательный член из суммы, то сумма не возрастёт

$$\prod _{i=1}^{k+1}(1+x_i)\ge \sum _{i=1}^{k+1}{x}_i+1+x_{k+1}\cdot \sum _{i=1}^k{x}_i\ge \sum _{i=1}^{k+1}{x}_i+1$$ $$\Rightarrow \prod _{i=1}^{k+1}(1+x_i)\ge \sum _{i=1}^{k+1}{x}_i+1\square$$