Метод вспомогательного угла

$$a\cos x+b\sin x=ca,b\ne 0$$ $$\frac{a}{t}\cos x+\frac{b}{t}\sin x=\frac{c}{t}$$

Наложим условие:

$${\left(\frac{a}{t}\right)}^2+{\left(\frac{b}{t}\right)}^2=1$$ $$\Rightarrow t=\sqrt{a^2+b^2}\text{ — удобнее будет делить на положительное число}$$

Подставим под t:

$$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Сравним $a$ и $\sqrt{a^2+b^2}$:

$$\begin{array}{c}a\vee \sqrt{a^2+b^2}\\ a^2\vee a^2+b^2\\ 0\vee b^2\\ 0<b^2\Rightarrow a<\sqrt{a^2+b^2}\Rightarrow |\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}|<1\text{ — аналогично для }b\\ \Rightarrow \exists \text{ угол }\varphi \text{, такой что }\sin \varphi =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\cos \varphi =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$$

Подставим:

$$\sin \varphi \cdot \cos x+\cos \varphi \cdot \sin x=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ $$\sin (\varphi +x)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ $$\begin{array}{c}\text{Решение есть }\iff |\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}|<1\iff \frac{c^2}{a^2+b^2}<1\end{array}$$ $$\Rightarrow [\begin{array}{c}\varphi +x=\arcsin \left(\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)+2\pi k\\ \varphi +x=\pi -\arcsin \left(\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)+2\pi k\end{array},\text{где }k\in \mathbb{Z}$$ $$\iff [\begin{array}{c}x=\arcsin \left(\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)-\varphi \\ x=\pi -\arcsin \left(\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)-\varphi +2\pi k\end{array}$$